Zaj�mavosti

Popularita p�echodu Venu�e p�es slune�n� disk je vskutku zna�n�. Sv�d�� o tom �loha z lo�sk�ho ro�n�ku 1. kola fyzik�ln� olympi�dy v kategorii C:

Zad�n� �lohy FO 44 - C - I - 4

Dne 8. �ervna 2004bude p�i pozorov�n� ze Zem� p�ech�zet planeta Venu�e p�es slune�n� disk. Pro zjednodu�en� p�edpokl�dejme, �e Zem� a Venu�e ob�haj� kolem Slunce po kru�nic�ch v t�e rovin�.

1. Ur�ete pom�r zorn�ch �hl�, pod kter�mi v uveden� dob� uvid�me pr�m�r Venu�e a pr�m�r Slunce.
2. Ur�ete dobu trv�n� p�echodu st�edu Venu�e p�es slune�n� disk.
3. Stanovte datum, kdy mohlo doj�t k p�edch�zej�c�mu p�echodu, pokud by byl spln�n v��e uveden� zjednodu�uj�c� p�edpoklad.
4. K p�echodu ve skute�nosti naposledy p�ed uveden�m datem do�lo 6. prosince 1882. Zd�vodn�te, pro� k jevu nedoch�z� tak �asto, jak vych�z� z p�edch�zej�c�ch v�po�t�.

�e�en� �lohy FO 44 - C - I - 4

Zave�me ozna�en� �daj� nalezen�ch v tabulk�ch:
pr�m�r Slunce D = 1 391 000 km, pr�m�r Venu�e d = 12 100 km,
st�edn� vzd�lenost Zem� od slunce r₀ = 1 AU = 149 600 000 km,
st�edn� vzd�lenost Venu�e od Slunce r = 0,7233 AU,
periodu ob�hu Zem� T₀ = 365,24 d a periodu Venu�e T = 224,7 d.

1. Pr�m�ry Venu�e a Slunce uvid�me v dob� p�echodu pod zorn�mi �hly α₁ = d / (r₀ � r), α₂ = D / r₀. Hledan� pom�r je α₁ / α₂ = r₀d / ((r₀ � r)D) = 0,031.
2. Ozna�me a vzd�lenost od Slunce, ve kter� se nach�z� pr�se��k p��mek spojuj�c�ch st�edy obou planet na za��tku a na konci p�echodu. D�le ozna�me v₀, v po �ad� kruhov� rychlosti, se kter�mi ob�h� Zem� a Venu�e kolem Slunce a Δt dobu trv�n� p�echodu. Podle obr�zku je D / a = v₀Δt / (a � r₀) = vΔt / (a � r). Z rovnosti 2. a 3. v�razu plyne a = (vr₀ � v₀r) / (v � v₀) . Z rovnosti 1. a 2. v�razu za pou�it� p�edchoz� rovnice dostaneme Δt = D(r₀ � r) / (vr₀ � v₀r). Dosazen�m v₀ = 2πr₀ / T₀, v = 2πr / T dostaneme kone�n� v�sledek Δt = D(r₀ � r) / (2πr₀r) T₀T / (T₀ � T) = 7,93 h = 7 h 56 min.
3. Hled�me dobu ΔT, po jej�m� uplynut� se Zem� a Venu�e op�t ocitnou na polop��mce s po��te�n�m bodem ve st�edu Slunce. Plat� 2πΔT / T = 2πΔT / T₀ + 2π, ΔT = T₀T / (T₀ � T) = 584 dn�. Pokud by byly spln�ny zjednodu�uj�c� podm�nky, nastal by p�edch�zej�c� p�echod 2. listopadu 2002.
4. Rovina trajektorie Venu�e je vzhledem k ekliptice sklon�na o �hel 3,4�, ��m� se v dob� mo�n�ho p�echodu p�i pohledu ze Zem� Venu�e v�t�inou neocitne na pozad� slune�n�ho disku, n�br� nad n�m nebo pod n�m.

Text je zve�ejn�n se souhlasem �V FO �R. Ofici�ln� str�nky Fyzik�ln� olympi�dy �R najdete na www.uhk.cz/pdf/katedra/fyzika/Olympid/ nebo na fo.cuni.cz.